Ограниченность функции — это свойство функции, при котором ее значения ограничены определенным интервалом. То есть, функция ограничена, если существуют такие числа, которые являются верхней и нижней границей для ее значений.
Для понимания ограниченности функции нужно обратить внимание на ее график. Если график функции имеет верхнюю и нижнюю границы на всем протяжении своего определения, то такая функция называется ограниченной.
Например, рассмотрим функцию f(x) = x^2. Ее график представляет собой параболу, которая открывается вверх. В данном случае график функции не имеет верхних границ, то есть функция не является ограниченной сверху. Однако, она ограниченна снизу нулем, так как значения функции не могут быть отрицательными.
Если же график функции не имеет нижних границ, то функция не является ограниченной снизу. И в случае, если график функции имеет и верхнюю, и нижнюю границы, то она ограничена и сверху, и снизу.
Вопрос-ответ
Что такое ограниченность функции?
Ограниченность функции означает, что значения функции на всем ее области определения не выходят за определенные границы или интервалы. Если функция ограничена, то существуют такие числа M и N, что для любого значения x функция f(x) будет удовлетворять неравенствам M ≤ f(x) ≤ N.
Как определить, является ли функция ограниченной?
Для определения ограниченности функции на ее области определения необходимо найти максимальное и минимальное значение функции на этой области. Если существуют такие числа M и N, что M ≤ f(x) ≤ N для всех x из области определения функции, то она является ограниченной.
Какие примеры ограниченных функций можно привести?
Примеры ограниченных функций включают в себя постоянные функции, такие как f(x) = c, где c — константа. Эти функции ограничены сверху и снизу одним и тем же значением. Еще один пример — синусоидальные функции, такие как f(x) = sin(x), которые колеблются между -1 и 1, и график функции всегда находится между этими значениями.
Может ли функция быть ограниченной сверху, но не ограниченной снизу?
Да, функция может быть ограниченной сверху, но не ограниченной снизу. Например, функция f(x) = x^2 ограничена сверху на всей числовой прямой, так как значение функции возрастает с увеличением аргумента. Однако, эта функция не имеет нижнего ограничения, так как значения могут быть сколь угодно малыми или отрицательными.
