Корень квадратного трехчлена: что это такое и как его рассчитать?

Корень квадратного трехчлена является одним из основных понятий в алгебре. Корень квадратного трехчлена представляет собой число, квадрат которого равен данному трехчлену. Например, для трехчлена x^2 — 5x + 6, корни квадратного трехчлена будут x = 3 и x = 2, так как (3)^2 — 5(3) + 6 = (2)^2 — 5(2) + 6 = 0.

Для нахождения корней квадратного трехчлена существует специальная формула, известная как формула дискриминанта. Дискриминант трехчлена определяется как D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты трехчлена. Если дискриминант положителен, то у трехчлена есть два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то у трехчлена есть один корень. Если дискриминант отрицателен, то у трехчлена нет действительных корней, только комплексные.

Например, рассмотрим трехчлен x^2 — 2x — 3. Первым шагом вычисляем дискриминант: D = (-2)^2 — 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. Так как дискриминант положителен, у трехчлена есть два корня. Затем, используя формулу k = (-b ± √D) / (2a), находим значения корней: x = (-(-2) ± √16) / (2(1)) = (2 ± 4) / 2 = (6 / 2) и (-2 / 2) = 3 и -1. Таким образом, трехчлен x^2 — 2x — 3 имеет два корня: x = 3 и x = -1.

Навык вычисления корней квадратного трехчлена является важным для решения различных алгебраических задач. Знание фундаментальных понятий и формул, связанных с корнем квадратного трехчлена, позволяет эффективно решать задачи нахождения корней, а также применять их в практических ситуациях.

Что такое корень квадратного трехчлена?

Корень квадратного трехчлена — это один из способов вычислить значения функции, которая является квадратным трехчленом. Квадратный трехчлен — это функция вида f(x) = ax² + bx + c, где a, b и c — это коэффициенты, которые определяют форму и положение графика функции.

Корень квадратного трехчлена — это значение x, при котором функция равна нулю. Иными словами, это точка, где график функции пересекает ось x. Находя корни квадратного трехчлена, мы можем найти точки пересечения графика с осью x и определить, где функция положительная или отрицательная.

Корни квадратного трехчлена могут быть рациональными или иррациональными числами, положительными или отрицательными. Их количество может варьироваться от 0 до 2 в зависимости от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле D = b² — 4ac. Если дискриминант больше нуля, то у квадратного трехчлена есть два различных вещественных корня. Если дискриминант равен нулю, то есть один вещественный корень кратности 2. Если дискриминант меньше нуля, то у квадратного трехчлена нет вещественных корней, а корни являются комплексными числами.

Для вычисления корней квадратного трехчлена можно использовать формулу x = (-b ± √D) / (2a), где ± означает два значения — одно с плюсом и одно с минусом.

Ниже приведены примеры вычисления корней квадратного трехчлена:

1. Рассмотрим трехчлен f(x) = x² — 4x + 4. Чтобы найти корни, мы используем формулу x = (-b ± √D) / (2a). Подставляем значения коэффициентов: a = 1, b = -4 и c = 4. Вычисляем дискриминант: D = (-4)² — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0. Так как дискриминант равен нулю, у трехчлена есть один вещественный корень кратности 2. По формуле находим корень: x = (-(-4) ± √0) / (2 * 1) = (4 ± 0) / 2 = 4 / 2 = 2. Таким образом, трехчлен имеет один корень равный 2 кратности 2.
2. Рассмотрим трехчлен f(x) = 2x² — x — 1. Подставляем значения коэффициентов: a = 2, b = -1 и c = -1. Вычисляем дискриминант: D = (-1)² — 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9. Так как дискриминант больше нуля, у трехчлена есть два различных вещественных корня. По формуле находим корни: x = (-(-1) ± √9) / (2 * 2) = (1 ± 3) / 4. Таким образом, трехчлен имеет два корня: x₁ = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 и x₂ = (1 — 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2.

Вычисление корней квадратного трехчлена позволяет нам лучше изучить его свойства и получить представление о его графике.

Определение корня квадратного трехчлена

Корень квадратного трехчлена представляет собой число, которое удовлетворяет условию возведения в квадрат. Другими словами, если взять число и возвести его в квадрат, то получится исходный квадратный трехчлен.

Формально, корень квадратного трехчлена f(x) равен числу a, если выполнено следующее условие:

1. Если a ≥ 0, то a^2 = f(x)
2. Если a < 0, то a^2 = -f(x)

По определению, корень квадратного трехчлена может быть как положительным, так и отрицательным числом. В зависимости от контекста, может быть выбран один из двух возможных корней.

Вычисление корня квадратного трехчлена можно выполнить с помощью различных методов, включая использование формулы корня квадратного трехчлена или численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Вычисление корня квадратного трехчлена

Корень квадратного трехчлена представляет собой операцию, при которой извлекается корень квадратный из выражения, содержащего коэффициенты и степени трехчлена.

Для вычисления корня квадратного трехчлена можно использовать два способа: раскрытие скобок и использование формулы квадратного трехчлена.

1. Раскрытие скобок:

При раскрытии скобок трехчлена получаем выражение степени 2 (квадрат) с коэффициентами трехчлена. Затем можно использовать формулу квадратного трехчлена.

Пример:	Вычисление корня квадратного трехчлена
Трехчлен:	(x + 4)2
Раскрытие скобок:	x2 + 8x + 16
Корень:	√(x2 + 8x + 16)
Вычисление:	(x + 4)

2. Формула квадратного трехчлена:

Формула корня квадратного трехчлена позволяет выразить корень в виде выражения с использованием коэффициентов трехчлена.

Пример:	Вычисление корня квадратного трехчлена
Трехчлен:	2x2 + 5x + 3
Формула:	√(4x2 + 20x + 9)
Вычисление:	2x + √(x2 + 3x + 9)

Таким образом, вычисление корня квадратного трехчлена может быть выполнено с помощью раскрытия скобок и использования формулы квадратного трехчлена.

Примеры вычисления корня квадратного трехчлена

Корень квадратного трехчлена вычисляется путем нахождения значения переменной, при котором трехчлен обращается в ноль. Рассмотрим несколько примеров вычисления корня квадратного трехчлена:

1. Трехчлен: x^2 — 4x + 4

   Для вычисления корня квадратного трехчлена, нам необходимо найти значения переменной x, при которых трехчлен обращается в ноль:

   x^2 — 4x + 4 = 0

   Данное уравнение можно решить с помощью факторизации:

   (x — 2)(x — 2) = 0

   x = 2

   Таким образом, корень квадратного трехчлена равен x = 2.

2. Трехчлен: 2x^2 + 3x — 2

   Для вычисления корня квадратного трехчлена, нам нужно решить следующее уравнение:

   2x^2 + 3x — 2 = 0

   Данное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

   Дискриминант D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25

   Так как дискриминант положительный, то у уравнения есть два корня:

   x = (-3 + √25) / 4 = (-3 + 5) / 4 = 2/4 = 1/2

   x = (-3 — √25) / 4 = (-3 — 5) / 4 = -8/4 = -2

   Таким образом, корни квадратного трехчлена равны x = 1/2 и x = -2.

3. Трехчлен: 3x^2 — 6x + 9

   Для вычисления корня квадратного трехчлена, нам нужно решить следующее уравнение:

   3x^2 — 6x + 9 = 0

   Данное уравнение можно решить путем выноса общего множителя:

   3(x^2 — 2x + 3) = 0

   Данное уравнение не имеет корней в области действительных чисел, так как дискриминант отрицательный.

   Таким образом, корень квадратного трехчлена не существует в области действительных чисел.

Это были примеры вычисления корня квадратного трехчлена. Корень квадратного трехчлена может быть найден с помощью различных методов, таких как факторизация, дискриминант и другие. Правильное вычисление корня квадратного трехчлена может помочь решить уравнения и решать задачи в различных областях математики и физики.

Вопрос-ответ

Что такое квадратный трехчлен?

Квадратный трехчлен — это выражение вида ax^2 + bx + c, где a, b и c — это коэффициенты, а x — переменная. В таком выражении член с наивысшей степенью (в данном случае x^2) называется квадратным, поэтому выражение называется квадратным трехчленом.

Как вычислить корень квадратного трехчлена?

Для вычисления корня квадратного трехчлена нужно использовать формулу квадратного корня: x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a. Подставляем значения коэффициентов a, b и c в формулу и находим корень.

Можете привести пример вычисления корня квадратного трехчлена?

Конечно! Предположим, у нас есть квадратный трехчлен 2x^2 + 5x — 3. Подставляем значения коэффициентов в формулу квадратного корня: x = (-5 ± √(5^2 — 4 * 2 * -3)) / 2 * 2. Вычисляем дискриминант (5^2 — 4 * 2 * -3 = 49) и находим два корня: x = (-5 + √49) / 4 и x = (-5 — √49) / 4. Упрощаем и получаем два значения корня: x = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2 и x = (-5 — 7) / 4 = -12/4 = -3.

Какие свойства имеют корни квадратного трехчлена?

Корни квадратного трехчлена имеют определенные свойства. Если дискриминант (b^2 — 4ac) больше нуля, то у трехчлена есть два различных вещественных корня. Если дискриминант равен нулю, то у трехчлена есть один удвоенный вещественный корень. Если дискриминант меньше нуля, то у трехчлена нет вещественных корней, но есть два комплексных корня.