Решение уравнения log5 2 x log25 x4

Уравнения, содержащие логарифмы, являются одними из самых сложных для решения. Однако, понимание основных принципов работы с логарифмами может помочь справиться с такими задачами. Одно из таких уравнений — уравнение log5 2 x log25 x4.

Прежде чем перейти к решению этого уравнения, давайте вспомним основные свойства логарифмов. Логарифм по определению — это степень, в которую нужно возвести определенное число, чтобы получить другое число. Например, логарифм по основанию 2 от 8 равен 3, потому что 2 в степени 3 равно 8.

Уравнение log5 2 x log25 x4 может быть решено путем применения свойств логарифмов. Воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Таким образом, можно записать уравнение как log5 2 + log25 x4 = 0.

Далее, воспользуемся свойством логарифма, которое позволяет переписать логарифм числа в виде возведения основания логарифма в эту степень. Для основания 5 это будет 5 в степени log5 2, а для основания 25 — это 25 в степени log25 x4. Общую формулу для этого свойства можно записать как a^loga b = b. Применяя это свойство к уравнению, мы получим следующее: 5^(log5 2) * 25^(log25 x4) = 1.

Решение уравнения log5

Уравнение вида log5(2) * log25(x^4) = 0 может быть решено с помощью свойств логарифмов и алгебраических преобразований.

1. Первым шагом заменим логарифмы по основанию 5 и 25 на эквивалентные им выражения с основанием 10:
• log5(2) = log10(2) / log10(5)
• log25(x^4) = log10(x^4) / log10(25)
2. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

(log10(2) / log10(5)) * (log10(x^4) / log10(25)) = 0

3. Применим свойство логарифма, согласно которому произведение двух логарифмов равно логарифму отношения их аргументов:

log10(2 * x^4) / (log10(5) * log10(25)) = 0

4. Упростим выражение в знаменателе:
• log10(5) * log10(25) = log10(5) * (log10(5^2)) = log10(5) * 2 = 2 * log10(5)
5. Заменим выражение в знаменателе на 2 * log10(5):

log10(2 * x^4) / (2 * log10(5)) = 0

6. Домножим обе части уравнения на 2 * log10(5), чтобы избавиться от знаменателя:

log10(2 * x^4) = 0

7. Используем свойство логарифма, согласно которому аргумент, для которого логарифм равен нулю, равен 1:

2 * x^4 = 1

8. Разделим обе части уравнения на 2:

x^4 = 1/2

9. Возведем обе части уравнения в степень 1/4, чтобы избавиться от четвертой степени:

x = (1/2)^(1/4)

10. Упростим выражение:

x = ∛(1/2) = 1/∛2

Таким образом, решение уравнения log5(2) * log25(x^4) = 0 равно x = 1/∛2.

Гайд с примерами и объяснениями:

В данном уравнении у нас имеется два логарифма, один по основанию 5 и второй по основанию 25.

Начнем с первого логарифма: log₅2. Это можно переписать в виде экспоненты: 5^x = 2. Чтобы найти значение x, нужно найти степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 2. В этом случае x = 1/2.

Теперь рассмотрим второй логарифм: log₂₅x⁴. Аналогично, перепишем его в виде экспоненты: 25^y = x⁴. Чтобы найти значение y, нужно найти степень, в которую нужно возвести 25, чтобы получить x⁴. В данном случае y = 1/4.

Итак, у нас есть две переменные — x и y. Теперь объединим два логарифма в одном уравнении: log₅2 * log₂₅x⁴. Подставим значения x и y: (1/2) * (1/4) = 1/8.

В итоге, получаем решение уравнения: 1/8.