Уравнение sin x cos x 1: решение и примеры

Уравнения с тригонометрическими функциями могут быть сложными для решения, но с правильным подходом они могут быть разрешены. В данной статье мы рассмотрим, как решить уравнение sin x cos x = 1 и предоставим подробное объяснение и шаги для решения этой задачи.

Перед тем, как мы начнем, давайте вкратце вспомним некоторые основные свойства тригонометрических функций. Синус и косинус — это функции, связанные с углами в прямоугольном треугольнике. Синус угла (обозначается как sin x) определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус угла (обозначается как cos x) — как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Итак, у нас дано уравнение sin x cos x = 1. Чтобы решить его, мы будем использовать свойства тригонометрических функций и применять различные тригонометрические тождества.

В следующих разделах мы подробно объясним каждый шаг решения уравнения sin x cos x = 1, чтобы вы могли лучше понять процесс решения и применить его к другим подобным уравнениям.

Шаги решения уравнения sin x cos x 1

Для решения уравнения sin x cos x = 1, следуйте нижеприведенным шагам:

1. Приведите уравнение к виду, в котором все функции находятся с одной стороны, а число 1 — с другой.

Уравнение принимает вид: sin x cos x — 1 = 0.

2. Примените тригонометрические тождества или идентичности для свертывания уравнения в более простую форму.

В данном уравнении можно использовать формулу двойного угла cos 2x = 2cos^2x — 1. Заменим cos x на u, тогда получим: sin x (2u^2 — 1) — 1 = 0.

3. Раскройте скобки и приведите уравнение к квадратному виду.

После раскрытия скобок получим: 2u^2sin x — sin x — 1 = 0.

4. Решите получившееся квадратное уравнение относительно u.

Решив квадратное уравнение, найдем два значения u: u1 и u2.

5. Подставьте значения u обратно в исходное уравнение и решите его относительно x.

Подставив найденные значения u1 и u2 обратно в уравнение sin x cos x — 1 = 0, решите его для x.

6. Проверьте полученные значения x, подставив их обратно в исходное уравнение.

Проверьте полученные значения x, подставив их обратно в исходное уравнение sin x cos x = 1. Если значения удовлетворяют уравнению, значит, они являются корнями.

Подробное объяснение каждого шага решения

Дано уравнение: sin x cos x = 1

1. Перепишем данное уравнение в виде: sin x * cos x — 1 = 0
2. Введем новую переменную: y = sin x * cos x — 1
3. Найдем производную от уравнения по новой переменной: y’ = (sin x * cos x)’ — 0
4. Производная функции sin x * cos x равна: (sin x * cos x)’ = (cos^2 x — sin^2 x)’ = 2cos x * (-sin x) — 2 sin x * cos x = -2 sin x * (sin x + cos x)
5. Решим уравнение y’ = 0
6. Получим следующее уравнение: -2 sin x * (sin x + cos x) = 0
7. Решим каждый множитель равенства отдельно:
1. -2 sin x = 0
2. sin x = 0
3. x = 0, π
4. sin x + cos x = 0
5. cos x = -sin x
6. tg x = -1
7. x = (2n — 1) * π/4, n — целое число

Таким образом, решение уравнения sin x cos x = 1:

1. x = 0
2. x = π
3. x = (2n — 1) * π/4, n — целое число